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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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4. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
g) gn=n(n+2−n)g_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})

Respuesta

Calculamos ahora este límite:

lim⁡n→+∞ n(n+2−n) \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})

Y ahora sí, volvieron las indeterminaciones "infinito menos infinito". Arrancamos multiplicando y dividiendo por el conjugado como hicimos en los items anteriores...

lim⁡n→+∞n(n+2−n)⋅n+2+nn+2+n \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados y simplificamos, nos queda... lim⁡n→+∞n⋅(n+2)−nn+2+n=lim⁡n→+∞n⋅2n+2+n \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}
Ahora estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", arrancamos sacando factor común "el que manda" adentro de la raíz:

lim⁡n→+∞n⋅2n(1+2n)+n\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{n(1+\frac{2}{n})} + \sqrt{n}}

Distribuimos la raíz y sacamos factor común n\sqrt{n} en el denominador, nos queda:
  lim⁡n→+∞n⋅2n(1+2n+1) \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n} \cdot 2}{\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1)} Simplificamos n\sqrt{n} y tomamos límite: lim⁡n→+∞21+2n+1=1 \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1} = 1 Por lo tanto, el resultado de este límite es... lim⁡n→+∞n(n+2−n)=1 \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) = 1
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