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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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4. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
g) $g_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$

Respuesta

Calculamos ahora este límite:

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$

Y ahora sí, volvieron las indeterminaciones "infinito menos infinito". Arrancamos multiplicando y dividiendo por el conjugado como hicimos en los items anteriores...

$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} $ Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados y simplificamos, nos queda... $ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} $
Ahora estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", arrancamos sacando factor común "el que manda" adentro de la raíz:

$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \cdot \frac{2}{\sqrt{n(1+\frac{2}{n})} + \sqrt{n}} $

Distribuimos la raíz y sacamos factor común $\sqrt{n}$ en el denominador, nos queda:
  $ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n} \cdot 2}{\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1)} $ Simplificamos \(\sqrt{n}\) y tomamos límite: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1} = 1 $ Por lo tanto, el resultado de este límite es... $ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) = 1 $
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Avatar Caro 16 de mayo 21:36
Hola Flor, cómo estás? En este ejercicio para hacer la dif de cuadrados interpreté al valor de "a" y "b" de esta forma, pero me cuesta entender como lo hiciste vos :(


2025-05-16%2021:36:35_5995579.png
Avatar Flor Profesor 17 de mayo 18:56
@Caro Hola Caro! Ojo en el arranque, porque ese $\sqrt{n}$ está multiplicando a todo el paréntesis... en estos ejercicios, te va a convenir "arrastrar" eso que multiplica al paréntesis donde tenés la indeterminación, porque si hacés la distributiva se torna más cuentoso...

Fijate que vos ya identificaste que acá está el problema, en el paréntesis $(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$, donde tenés una infinito - infinito... Entonces, arrastra ese $\sqrt{n}$ multiplicando y salvá esa indeterminación inf - inf multiplicando por el conjugado de lo del paréntesis (otra opción sino es fijarte a donde tiende eso en un cálculo auxiliar)
Avatar Caro 17 de mayo 20:07
@Flor Ahh, ahí me quedó mucho más claro Flor. Voy a probar hacer eso, muchas gracias <333
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